z变换

z变换的思想来源于连续系统。线性连续系统的动态及稳态性能，可以用拉氏变换的方法进行分析。与此相似，线性离散系统的性能可以采用z变换的方法来获得。z变换是从拉氏变换直接引伸出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此，z变换又称采样拉氏变换，是研究离散系统的重要数学工具。

1. z变换的定义

引入一个新复变量

(1)

或　　　　　　　　 　　　　　(2)

从而有　

(3)

称为离散时间函数的z变换。z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。就是说，极限

存在时，的z变换才存在。

在z变换过程中，由于考虑的是连续时间函数f(t)经采样后的离散时间函数，或者说考虑的是在采样瞬间的采样值，所以上式只表示连续时间函数f(t)在采样时刻的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性。从这个意义上说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函数具有相同的z变换，即

(4)

常用时间函数的z变换见表1。

表1 拉氏变换和z变换表

2. z变换的性质和定理

与拉氏变换相同，z变换有很多重要性质，可用于计算或直接分析离散控制系统，其中最常用的性质有：

(1) 线性性质

(5)

(2) 求和定理(又称叠值定理)

(6)

(3) 平移定理

如果对于t﹤0有f(t)=0 ，并且f(t)有z变换f(z)，则

(7)

(8)

(4) 初值定理

如果f(t)有z变换F(z)，且极限存在，则f(t)或f(k)的初始值f(0)为

(9)

(5) 终值定理

(10)

运用终值定理的条件是：当z≥1时，(z-1)F(z)对z的所有导数都存在。

(6) z变换的微分

(11)

(7) z变换的积分

(12)

(8) 卷积定理

设称为两序列f1(kt)和f2(kt)的卷积，用“*”表示。则

(13)

(9) 比例尺变化

(14)

3. 用z变换法解线性常系数差分方程

采用z变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似。解的过程是先将差分方程经z变换后成为z的代数方程，然后求出未知序列的z表达式Y(z)，最后查z变换表或用其他方法求得y(k)。

〖例1〗用z变换法解下列差分方程

初始条件为y(0)=0,y(1)=1。

解：对上式进行z变换得

代入初始条件，并解得

查表求逆z变换得

可见，用z变换法解线性常系数差分方程时，关键在于求逆z变换。